복합재료 Rule of Mixtures는 무엇인가

복합재료에서 Rule of Mixtures는 섬유와 수지를 혼합했을 때 혼합비에 따른 복합재료의 유효 물성을 1차로 예측하는 가장 기본적인 방법이다.
이름 그대로 “혼합 법칙”이다.
섬유가 얼마나 들어가고, 수지가 얼만큼 들어가며, 각 성분의 물성이 얼마인지 알면 복합재료의 일부 물성을 대략적으로 추정할 수 있다.

Rule of Mixtures는 단순한 공식이지만 고려해야 일부 사항에 대해서도 고려를 해야 한다.

복합재료 물성은 섬유 물성, 수지 물성, 섬유체적비, 섬유 배열, 제조 품질, void, 시험 조건 같은 것들의 영향을 받는다. Rule of Mixtures는 그 중에서 가장 기초적인 섬유 물성, 수지 물성, 섬유 체적비, 수지 체적비만 고려하고 void는 없다는 가정으로 계산을 한다.

이 방법은 출발점이지 최종 설계값은 아니다. 섬유 방향 탄성계수처럼 비교적 잘 설명되는 물성도 있지만, 횡방향 물성, 전단 물성, 압축강도, laminate 파손강도는 훨씬 복잡하다. 따라서 Rule of Mixtures를 이해할 때 핵심은 어디까지 이 계산을 참고할 것인가 이다.

Rule of Mixtures가 보는 복합재료의 기본 구조

Rule of Mixtures는 복합재료를 크게 섬유와 수지의 조합으로 본다.
* 전통적으로 사용되는 연속섬유 복합재료 이외에 강화섬유가 첨가된 열가소성 고분자 사출품의 경우에도 Rule of Mixtures는 참고가 될 수 있다. 다만 이 경우에도 섬유의 길이나 사출 중 섬유의 배열 각도 등은 고려되지 않는다.

구성 요소	의미	물성에 미치는 영향
Fber	탄소섬유, 유리섬유, 아라미드 섬유 등의 강화섬유	주로 섬유 방향 강성·강도 지배
Matrix	에폭시, 폴리에스터, PPS 등 고분자 수지, 기지재	섬유 지지, 하중 전달, 전단·횡방향 물성에 영향
Vf	섬유 체적률 (Fiber Volume Fraction)	전체 부피 중 섬유가 차지하는 비율
Vm	수지 체적률 (Matrix Volume Fraction)	전체 부피 중 수지가 차지하는 비율

앞서 이야기한 것과 같이 강화섬유와 기지재만 있고 void는 없다고 가정하고 단순화 하면 다음과 같은 관계를 쓸 수 있다.

여기서 $V_f$는 fiber volume fraction, 즉 섬유체적비다. 같은 탄소섬유와 같은 수지를 사용해도 $V_f$가 달라지면 복합재료의 물성도 따라서 달라진다.

이 점에서 “탄소섬유 복합재”, “T700급 CFRP”라는 말 만으로는 물성을 알 수 없다. 어떤 섬유인지, 어떤 수지인지, 섬유가 얼마나 들어갔는지, 어떤 방향으로 배열되었는지, 실제 제조 후 void가 얼마나 있는지까지 함께 봐야 한다.

Rule of Mixtures는 그중 가장 먼저 fiber, matrix, $V_f$의 관계를 단순화해 보여주는 도구다.

수식으로 표현을 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$E_{composites} = E_{fiber} \cdot V_f + E_{resin} \cdot V_r$

$V_f$는 실무에서 어떻게 확인하는가: R/C, FAW, CPT의 관계

Rule of Mixtures에서 가장 중요한 변수 중 하나는 $V_f$다. 그러나 실제 현장이나 데이터시트에서 항상 $V_f$로 커뮤니케이션이 되지는 않는다. Prepreg, dry fabric, cured laminate specification 등에서는 오히려 R/C(Resin Contents), FAW(Fiber Areal Weight), CPT(Cured Ply Thickness) 같은 값들이 더 자주 등장한다.

항목		의미
Vf	Fiber Volume Fraction	전체 부피 중 섬유가 차지하는 비율
R/C	Resin Contents	수지 함량, 보통 중량 기준 wt%로 표시
FAW	Fiber Areal Weight	단위 면적당 섬유 중량, 보통 gsm(gram per square meter)로 표시
CPT	Cured Ply Thickness	경화 후 한 ply의 두께

여기서 조심해야 할 점은 $V_f$는 부피비이고, R/C는 중량비라는 것이다. 섬유와 수지는 밀도가 다르기 때문에 resin contents가 35%라고 해서 fiber volume fraction이 65%가 되지 않는다는 점이다.

예를 들어 밀도가 1.80 g/cc인 탄소섬유와 밀도 1.20 g/cc인 에폭시 수지에서 중량비를 부피비로 바꾸려면 섬유 밀도와 수지 밀도를 함께 고려해야 한다. 미국 연방항공청 등에서 나오는 FAW와 CPT를 이용해 $V_f$를 추정하고 있다.

여기서 $\rho_f$는 섬유 밀도다. 그리고 계산을 할 때에는 단위에 유의해야 한다. 예를 들어 FAW는 $g/m^2$이고, 밀도는 $g/cc \; or \; g/cm^3$이며, CPT는 $mm \; or \; in.$로 계산될 수 있다. 단위 환산에 착오가 있을 경우에 $10^n$ 만큼의 오차가 날 수 있기 때문에 세심한 주의가 필요하다.

그런데 CPT는 매우 작은 값이고 성형 조건에 따라 변동성을 가지고 있다. 그리고 $V_f$를 계산하기 위해 CPT를 이용하기보다 CPT를 알기 위해 $V_f$를 이용하는 경우가 많다. 그런데 $V_f$를 측정하기도 쉽지 않다.

그래서 실무적으로 수지의 중량비인 R/C를 이용해서 $V_f$ 혹은 CPT를 계산하는 경우가 더 많을 것으로 생각한다. R/C를 이용해서 $V_f$를 계산하는 식을 만들면 다음과 같이 만들 수 있다.

여기서

• $W_f$ : fiber weight fraction
• $W_r$ : resin weight fraction

부피는 질량 / 밀도 이므로:

여기서 $W_f = 1-R/C, \; \; W_R = R/C$를 넣으면:

이것을 정리하면 다음 식과 같이 만들 수 있다.

이 식을 위의 CPT를 이용해서 $V_f$를 계산하는 식과 연결하면:

섬유 방향 탄성계수 $E_1$은 비교적 잘 예측된다

Rule of Mixtures가 가장 직관적으로 적용되는 부분은 UD lamina의 섬유 방향 탄성계수, 즉 $E_1$이다. 섬유가 1방향으로 정렬된 UD 복합재료에서 1방향 인장 하중을 가하면 섬유와 수지가 같은 변형률을 공유한다고 볼 수 있다.

여기서 $E_f$는 섬유의 탄성계수, $E_r$은 수지의 탄성계수다.

이 식은 직관적이다. 섬유체적비가 높아질수록, 그리고 섬유의 탄성계수가 높을수록 1방향 탄성계수는 증가한다. 그리고 일반적으로 복합재료에서 강화섬유의 탄성계수는 수지에 비해서 매우 크기 때문에 섬유의 영향은 거의 무시할 수 있을 수준이다.

예를 들면, Toray의 T700S 탄소섬유의 인장 탄성률은 230 GPa로 알려져 있다. 반면 에폭시 수지의 인장 탄성률은 대략 2.5~3.5 GPa 수준이다. 에폭시의 인장 탄성률을 3 GPa로 두고 $V_f$가 60%라고 가정을 하면

극단적으로 수지의 물성을 빼고 보았을 때 $230 \; GPa \times 0.6 = 138.0 \; GPa$ 인것을 고려하면 수지의 비율은 $E_1$ 값에는 거의 영향을 주지 않는다고 생각할 수 있다.

복합재료에서 $E_1$ 물성은 다른 방향의 물성에 비해 microbuckling이나 계면 특성과 같은 다른 영향을 적게 받기 때문이다. 그렇지만 섬유의 waviness, misalignment, void 등의 요인으로 완벽하게 정확한 물성을 예측하지는 못한다.

Rule of Mixtures에서 $E_2$ 물성은 다음과 같이 조금 다른 형태의 식으로 계산할 수 있다.

그리고 $V_r = 1-V_f$ 이므로:

Rule of Mixtures는 기본적으로 앞선 글 복합재료에서 Lamina와 Laminate의 차이에서 다루던 물성을 알기 전에 lamina의 대략적인 물성을 예측하기 위한 유용한 도구가 될 수있다. 그렇지만 초기의 검토 도구일 뿐이므로 반드시 실험을 통해 재료의 물성을 검증하고 그 차이를 반영해야한다.

나중에 다루게 될 재료 물성의 normalizing에 지금까지 다루었던 FAW, R/C, $V_f$, CPT 같은 것들이 사용되기 때문에 이런 것들이 어떻게 계산되고 다루어지는지에 대해서 충분히 이해를 하는 것이 필요하다.