복합재 적층판은 왜 대칭 적층이어야 하는가

복합재료 적층판에서 대칭 적층이 필요한 이유는 extension-bending/torsion coupling과 cure warpage를 줄이기 위해서라 볼 수 있다.

항공 복합재 구조 설계에서 많은 설계 지침(design guidelines)들이 알려져 있지만 대체로 구두로 전달이 되고 왜 그렇게 해야 하는지에 대해서 심도있게 다루는 일이 드물다. 이런 지침들은 우주 발사체, 전투기 등의 개발에서 오랜 기간동안 연구개발이나 실패를 통해 얻게된 지식들로 단순한 이론 기반의 내용이라 보기 어렵다. 대학의 강의 교재와 같은 문헌에서는 이론에서 시작해서 이야기가 전개되기 때문에 micromechanics, macromechanics, classical lamination theory 같은 것들을 다루고 실질적인 개발 중 고려할 사항들은 깊게 다루어지지 못하고, 산업계나 연구계의 문헌들은 보안 등의 이유로 세부적인 사항은 공개되지 않고 결과만 공유되는 경우가 대다수라 생각한다. 그래서 항공 분야에서 전해지던 설계 지침들에 대해 조금 더 살펴보고 왜 그렇게 해야 하는지에 대해 시리즈로 다루어 보려고 한다.

그 첫 번째 주제는 symmetric laminate, 즉 대칭 적층이다.

Guideline 1. Laminates Are to Be Symmetric About Their Middle Surfaces.

대칭 적층은 복합재료를 다루는 사람이라면 누구나 알고 있고 기본적으로는 따르고 있는 규칙이다. 하지만 실무에서는 종종 “위아래를 똑같이 쌓으면 된다”, “크게 차이가 나지 않으면 된다” 정도로만 이해되고 있다. 이 설명은 충분하지 않다. 조금 다르게 적으면 적층판의 중립면(middle surface) 또는 중간면을 기준으로 ply의 방향과 위치를 짝지어, 인장·압축과 굽힘 거동이 불필요하게 섞이지 않도록 만드는 것이다.

대칭 적층이란 무엇인가

대칭 적층은 laminate의 middle surface를 기준으로 위쪽과 아래쪽 적층 구성이 서로 마주보는 관계를 갖는 적층이다.

예를 들어 다음 적층은 대칭 적층으로 볼 수 있다.

[0 / +45 / -45 / 90]_s

여기서 s는 symmetric을 의미한다. 풀어서 쓰면 다음과 같다.

[0 / +45 / -45 / 90 / 90 / -45 / +45 / 0]

중간면을 기준으로 위쪽에 있는 ply와 아래쪽에 있는 ply가 같은 방향과 같은 두께를 갖도록 배치된다.

중요한 것은 대칭 적층이 단순한 “제조상의 정리정돈”이 아니라는 점이다. 이것은 laminate constitutive behavior, 즉 적층판의 하중-변형 관계를 안정적으로 만들기 위한 설계 규칙이다.

대칭이 아니면 인장과 굽힘이 섞인다

복합재 laminate의 거동은 보통 Classical Lamination theory(CLT)에서 다음과 같은 형태로 표현된다.

\begin{bmatrix} N \\ M \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ B & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon^0 \\ \kappa \end{bmatrix}

여기서 각 항은 다음 의미를 갖는다.

$N$ : membrane force
$M$ : flexural moment
$A$ : extensional stiffness matrix
$B$ : extension-bending/torsion coupling stiffness matrix
$D$ : bending stiffness matrix
$\varepsilon^0$ : middle surface strain
$\kappa$ : curvature

여기서 $\begin{bmatrix} A & B \\ B & D \end{bmatrix}$ 를 보통 ABD matrix 혹은 [ABD] matrix라 부른다.

위의 행렬식을 보면 Hook’s Law의 형태와 같은 것을 알 수 있다.

\sigma = E \cdot \varepsilon

[ABD] matrix는 적층판 전의 강성이라 생각할 수 있다.

이방성 재료인 복합재료에서 [ABD] matrix는 다음과 같다.

[ABD] = \begin{bmatrix} A & B \\ B & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{16} & B_{11} & B_{12} & B_{16} \\ A_{12} & A_{22} & A_{26} & B_{12} & B_{22} & B_{26} \\ A_{16} & A_{26} & A_{66} & B_{16} & B_{26} & B_{66} \\ B_{11} & B_{12} & B_{16} & D_{11} & D_{12} & D_{16} \\ B_{12} & B_{22} & B_{26} & D_{12} & D_{22} & D_{26} \\ B_{16} & B_{26} & B_{66} & D_{16} & D_{26} & D_{66} \end{bmatrix}

이것을 등방성 재료로 바꾸면 다음과 같다.

[ABD] = \begin{bmatrix} A & B \\ B & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ A_{12} & A_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A_{66} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & D_{11} & D_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & D_{12} & D_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & D_{66} \end{bmatrix}

이것을 Hook’s Law에 대입하면:

복합재료에서는

\begin{bmatrix} N_x \\ N_y \\ N_{xy} \\ M_x \\ M_y \\ M_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{16} & B_{11} & B_{12} & B_{16} \\ A_{12} & A_{22} & A_{26} & B_{12} & B_{22} & B_{26} \\ A_{16} & A_{26} & A_{66} & B_{16} & B_{26} & B_{66} \\ B_{11} & B_{12} & B_{16} & D_{11} & D_{12} & D_{16} \\ B_{12} & B_{22} & B_{26} & D_{12} & D_{22} & D_{26} \\ B_{16} & B_{26} & B_{66} & D_{16} & D_{26} & D_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_u^0 \\ \gamma_{xy}^0 \\ \kappa_x \\ \kappa_y \\ \kappa_{xy} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} N_x \\ N_y \\ N_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{16} \\ A_{12} & A_{22} & A_{26} \\ A_{16} & A_{26} & A_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_y^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{16} \\ B_{12} & B_{22} & B_{26} \\ B_{16} & B_{26} & B_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kappa_x \\ \kappa_y \\ \kappa_{xy} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} M_x \\ M_y \\ M_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{16} \\ B_{12} & B_{22} & B_{26} \\ B_{16} & B_{26} & B_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_y^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} D_{11} & D_{12} & D_{16} \\ D_{12} & D_{22} & D_{26} \\ D_{16} & D_{26} & D_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kappa_x \\ \kappa_y \\ \kappa_{xy} \end{bmatrix}

등방성 재료에서는

\begin{bmatrix} N_x \\ N_y \\ N_{xy} \\ M_x \\ M_y \\ M_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ A_{12} & A_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A_{66} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & D_{11} & D_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & D_{12} & D_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & D_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_u^0 \\ \gamma_{xy}^0 \\ \kappa_x \\ \kappa_y \\ \kappa_{xy} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} N_x \\ N_y \\ N_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & 0 \\ A_{12} & A_{22} & 0 \\ 0 & 0 & A_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_y^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kappa_x \\ \kappa_y \\ \kappa_{xy} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} M_x \\ M_y \\ M_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_y^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} D_{11} & D_{12} & 0 \\ D_{12} & D_{22} & 0 \\ 0 & 0 & D_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kappa_x \\ \kappa_y \\ \kappa_{xy} \end{bmatrix}

여기서 중요한 것은 B matrix다. 등방성 재료에서는 B matrix 전체가 0이 되고 A matrix와 D matrix에서도 16, 26 성분( $A_{16}, \; A_{26}, \; D_{16}, \; D_{26}$ )도 모두 0이 된다.대칭 적층에서는 등방성 재료와 유사하게 B matrix가 모두 0이 된다.

그러면 막하중과 굽힘모멘트는 다음과 같이 계산할 수 있다.

\begin{bmatrix} N \\ M \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon^0 \\ \kappa \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A \varepsilon^0 + 0 \kappa \\ 0 \varepsilon^0 + D \kappa \end{bmatrix}

풀어 쓰면:

\begin{bmatrix} N_x \\ N_y \\ N_{xy} \\ M_x \\ M_y \\ M_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{16} & 0 & 0 & 0 \\ A_{12} & A_{22} & A_{26} & 0 & 0 & 0 \\ A_{16} & A_{26} & A_{66} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & D_{11} & D_{12} & D_{16} \\ 0 & 0 & 0 & D_{12} & D_{22} & D_{26} \\ 0 & 0 & 0 & D_{16} & D_{26} & D_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_u^0 \\ \gamma_{xy}^0 \\ \kappa_x \\ \kappa_y \\ \kappa_{xy} \end{bmatrix}

이것을 막하중과 굽힘모멘트를 분리하면:

\begin{bmatrix} N_x \\ N_y \\ N_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{16} \\ A_{12} & A_{22} & A_{26} \\ A_{16} & A_{26} & A_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_y^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kappa_x \\ \kappa_y \\ \kappa_{xy} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} M_x \\ M_y \\ M_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_y^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} D_{11} & D_{12} & D_{16} \\ D_{12} & D_{22} & D_{26} \\ D_{16} & D_{26} & D_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kappa_x \\ \kappa_y \\ \kappa_{xy} \end{bmatrix}

즉, 막하중과 굽힘모멘트는 서로 영향을 주지 않는다.

막하중 성분( $N_x, \; N_y, \; N_{xy}$ )과 굽힘모멘트 성분( $M_x, \; M_y, \; M_{xy}$ )을 풀어보면:

N_x = A_{11} \varepsilon_x^0 + A_{12} \varepsilon_y^0 + A_{16} \gamma_{xy}^0, \; \; \; \; N_y = A_{12} \varepsilon_x^0 + A_{22} \varepsilon_y^0 + A_{26} \gamma_{xy}^0. \; \; \; \; N_{xy} = A_{16} \varepsilon_x^0 + A_{26} \varepsilon_y^0 + A_{66} \gamma_{xy}^0

M_x = D_{11} \kappa_x + D_{12} \kappa_y + D_{16} \kappa_{xy}, \; \; \; \; M_y = D_{12} \kappa_x + D_{22} \kappa_y + D_{26} \kappa_{xy}, \; \; \; \; M_{xy} = D_{16} \kappa_x + D_{26} \kappa_y + D_{66} \kappa_{xy}

막하중은 막 변형률( $\varepsilon_x^0, \; \varepsilon_y^0, \; \varepsilon_{xy}^0$ )만 유발하고, 굽힘모멘트는 곡률( $\kappa_x, \; \kappa_y, \; \kappa_{xy}$ )만 유발하여 서로 분리되어 있는 것을 알 수 있다.

만약 대칭 적층이 아니라 B matrix가 0이 아니라면

먼저 다시 Hook’s Law 형태로 돌아가자.

\begin{bmatrix} N \\ M \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ B & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon^0 \\ \kappa \end{bmatrix}

N = A \varepsilon^0 + B \kappa

M = B \varepsilon^0 + D \kappa

먼저 막하중만 존재하고 굽힘모멘트가 없다고 생각을 하자. 그러면

M = 0

으로 놓을 수 있다. 그러면,

B \varepsilon^0 + D \kappa = 0

D \kappa = -B \varepsilon^0

\kappa = -D^{-1} B \varepsilon^0

B matrix의 성분이 0이 아니면 막 변형률( $\varepsilon^0$ )은 곡률( $\kappa$ )을 생성하게 된다.
반대로 B matrix 성분이 모두 0이 되면 $D^{-1}B$ 행렬이 0이 되므로 막 변형률과 관계 없이 곡률은 0이 된다.

즉, 대칭 적층으로 B matrix가 0이 되면 면내 하중 $N$ 은 주로 막 변형률 $\varepsilon^0$ 과 연결되고, 굽힘 모멘트 $M$ 은 곡률 $\kappa$ 와 연결된다. 즉, 인장·압축 거동과 굽힘 거동이 분리된다.

왜 B matrix가 문제인가

비대칭 적층으로 이인해 B matrix가 남아 있으면 설계와 해석이 모두 복잡해진다.

첫 번째 문제는 구조 응답이 직관적이지 않다는 것이다. 인장 하중을 걸었는데 구조물이 휘거나, 온도 변화에 의해 비틀림이 발생할 수 있다. Northrop Grumman의 B2 폭격기와 같이 이런 거동을 의도적으로 사용하는 특수 설계도 가능하지만, 일반적인 항공기 구조 패널이나 stiffened panel 설계에서는 불필요한 coupling을 줄이는 편이 안전하다.

두 번째 문제는 stiffness 정의가 모호해진다는 것이다. 비대칭 laminate는 인장 시 굽힘이 동반될 수 있기 때문에, 단순히 “이 laminate의 인장 탄성계수는 얼마인가”라고 말하기 어려워진다. 변형을 구속했는지, 자유롭게 휘도록 두었는지에 따라 apparent stiffness가 달라질 수 있다.

세 번째 문제는 시험과 해석의 상관성이 떨어질 수 있다는 것이다. Coupon 시험에서는 jig, gripping, specimen geometry에 의해 일부 변형이 구속될 수 있다. 반면 실제 구조에서는 경계조건이 다르다. 비대칭 적층의 coupling이 남아 있으면 coupon에서 얻은 응답을 실제 구조에 적용할 때 해석적 주의가 더 많이 필요하다.
* Coupon과 Specimen은 모두 시험편으로 번역을 하지만 시험의 스케일과 목적에 따라 구분하여 표현한다.
Coupon은 재료 자체의 기초 물성을 파악하기 위한 시험편으로 보통 파단강도, 탄성률, 포아송비 등을 얻기 위해 사용
Specimen은 보다 넓은 의미로 라미네이트의 구멍(open hole), 연결부(bolted/bonded joint), 파트의 특정 요소의 채취 시편 등의 평가를 위해 사

즉, 대칭 적층은 구조 응답을 해석 가능하고 검증 가능한 형태로 단순화하는 방법이다.

대칭 적층은 cure warpage를 줄인다

대칭 적층이 필요한 두 번째 이유는 thermal warping, 특히 경후 후 냉각 과정에서 발생하는 warpage를 줄이기 위해서다.

복합재료는 보통 기지재의 유리전이온도( $T_g$ ) 부근에서 경화되고, 이후 상온으로 냉각된다. 이 과정에서 섬유와 수지는 서로 다른 열팽창계수(CTE; coefficient of thermal expansion)을 갖고, ply 방향에 따라서도 열변형 특성이 달라진다.

UD carbon/epoxy ply를 예로 들면, 섬유 방향과 횡방향의 열팽창 거동이 다르다. 0º ply와 90º ply는 냉각 과정에서 서로 다른 방향으로 변형하려 한다. 만약 이런 ply들이 중간면 기준으로 대칭으로 배치되지 않으면, laminate 위쪽과 아래쪽의 열변형 경향이 달라지고 그 결과 laminate가 휘거나 뒤틀릴 수 있다.
여기서 뒤틀림은 다음에 다룰 글에서 고려할 사항이다.

Cure warpage는 단순히 휘어지는 외관상의 문제가 아니다. 복합재 구조물에서 치수 안정성은 단순 제조 품질 문제가 아니라 설계 문제와 연결된다. 특히, 얇은 skin, panel, cover, fairing, control surface처럼 면이 큰 부품에서는 비대칭 적층에 의한 warpage가 실제 조립성과 성능에 직접 영향을 줄 수 있다.

대칭 적층이 항상 가능한 것은 아니다

대칭 적층은 좋은 기본 지침이지만, 모든 영역에서 완벽하게 지킬 수 있는 것은 아니다.

대표적으로 두께 변화가 있는 영역, ply drop-off 영역, local reinforcement, cutout 주변 보강, joint 주변, 샌드위치 구조의 ramp 구간에서는 이상적인 대칭을 유지하기 어렵다. 실제 구조물은 균일한 flat panel이 아니기 때문이다.

이때 중요한 것은 “하상 완전 대칭이어야 한다”가 아니다. 더 정확한 표현은

“대칭을 기본으로 설계하되, 제조·중량·공간·하중 조건 때문에 불가피하게 비대칭이 생기는 경우 그 영향을 해석하고 최소화 하는 것” 이다.

예를 들어 ply drop-off가 필요한 경우에는 drop 위치를 중간면 기준으로 균형 있게 배치하거나, 급격한 두께 변화를 피하거나, 국부 coupling과 interlaminar shear stress를 별도로 확인해야 한다. 대칭을 지키지 못한 영역은 “예외”로 취급을 해야하고 단순 편의로 방치해서는 안된다.

대칭 적층 지침의 목적은 설계를 기계적으로 제한하는 것이 아니라, 원하지 않는 coupling과 thermal distortion을 줄여 구조 거동을 예측 가능한 범위에 두는 것이다.

의도적 비대칭 설계도 가능한가

복합재료의 장점 중 하나는 coupling을 설계 변수로 사용할 수 있다는 점이다.
예를 들어 aeroelastic tailoring에서는 특정 bending-twisting coupling을 의도적으로 활용할 수 있다. 일부 항공기의 날개, 풍력 발전기의 블레이드, F1 자동차의 프론트/리어 윙 등에서 유체압에 의한 굽힘이 발생하면 설계된 비틀림을 유도하도록 조정해서 공탄성 응답을 유리하게 만드는 접근이 이용되고 있다.

하지만 이것은 일반적인 설계 지침의 예외로 보아야 한다. 비대칭 혹은 unbalanced lay-up을 의도적으로 사용하는 경우에는 단순 laminate sizing 수준을 넘어 공력, 구조, 안정성, 제조 편차, 시험 검증까지 함께 다뤄야 한다. 해야 할 일과 고민이 수배 혹은 열배 이상 증가할 수도 있다는 말이다.

따라서 대부분의 일반 구조 설계에서는 symmetric laminate를 기본값으로 두는 것이 합리적이다.
복합재료에서 비대칭 적층 잧가 위험한 것이 아니다. 비대칭에 의한 coupling이 유발하는 변화를 모르고 사용하는 것이 위험한 것이다.