Balanced Laminate란 무엇인가

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Balanced laminate란 무엇인가 하는 문제는 symmetric laminate에 비해 현업에서 많이 다루어지지 않고 있다. Balanced laminate는 특정 각도 +θ\theta ply가 적용이 되면 –θ\theta의 ply가 쌍으로 들어가야 한다는 말이다. 이 지침은 단순히 +θ\theta ply와 –θ\theta ply를 맞추라는 것보다 면내 인장·압축 변형과 저난 변형이 서로 섞이지 않도록 만들어야 한다는 말이다.

앞선 복합재 적층판은 왜 대칭 적층이어야 하는가 글에서 Guideline 1이 “laminate는 중간면에 대해 대칭이어야 한다”고 말한 이유는 B matrix를 제거하여 막 거동과 굽힘 거동을 분리하기 위해서였다. Guideline 2는 다른 coupling을 다룬다. 여기서 문제 되는 것은 B matrix가 아니라 A matrix의 A16,A26A_{16}, \; A_{26} 성분이다.

대칭 laminate라도 balanced가 아닌 경우, B matrix가 0이더라도 여전히 면내 하중과 전단 변형이 coupling될 수 있다. 즉, 판은 굽지는 않더라도 잡아당겼는데 전단 변형이 생기거나, 전단을 줬는데 축 방향 변형이 생기는 비 직관적 거동을 보일 수 있다.

Guideline 2. Laminates Are Required to Be Balanced.

Balanced laminate의 정확한 의미

이 문맥에서 balanced laminate란 0º와 90º를 제외한 angle ply가 반드시 +θ\thetaº, –θ\thetaº 쌍으로 존재하는 적층을 말한다. 예를 들어 일반적인 [0/±45/90] 계열의 laminate에서는 +45º ply가 있으면 그에 대응하는 -45º ply가 있어야 한다. * Angle ply와 cross ply에 대해서는 차후에 다룰 예정이다.

+45º ↔ -45º

+θ\theta ↔ –θ\theta

여기서 중요한 점은 “balanced”와 “symmetric”이 같은 말이 아니라는 것이다.

Symmetric laminate는 중간면을 기준으로 위아래 ply 배열이 거울상인 laminate다. 이것은 주로 B matrix를 제거해 extension-bending/torsion coupling을 없애기 위한 조건이다.

Balanced laminate는 +θ\theta 혹은 –θ\theta 로 적층된 angle ply의 효과를 상쇄시키는 laminate다. 주로 A16,A26A_{16}, \; A_{26} 성분을 제거해서 in-plane extension-shear coupling을 없애기 위한 조건이다.

예를 들어:

  • [0/45/90/90/45/0] 적층은 symmetric laminate라 할 수 있다. 그렇지만 balanced laminate는 아니다.
  • [0/45/-45/90] 적층은 balanced laminate라 할 수 있다. 그렇지만 symmetric laminate는 아니다.

따라서 실무에서 자주 말하는 좋은 기본 적층은 보통 다음 조건을 동시에 만족한다.

symmetric + balanced

즉, 단순히 대칭이라고 충분하지 않고, 단순히 balanced라고 충분하지도 않다. 두 조건은 서로 다른 coupling을 제어한다.

왜 A16,A26A_{16}, \; A_{26}이 문제인가

Symmetric laminate라고 가정하면 B matrix는 0이므로 막하중 관계식은 다음처럼 단순화된다.

[NxNyNxy]=[A11A12A16A12A22A26A16A26A66][εx0εy0γxy0]\begin{bmatrix} N_x \\ N_y \\ N_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{16} \\ A_{12} & A_{22} & A_{26} \\ A_{16} & A_{26} & A_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_y^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{bmatrix}

여기서 A11,A22,A12,A66A_{11}, \; A_{22}, \; A_{12}, \; A_{66}은 순수한 성분이다. A11A_{11}은 x 방향 인장 강성, A22A_{22}는 y 방향 인장 강성, A66A_{66}은 면내 전단 강성이다.

문제는 A16,A26A_{16}, \; A_{26} 성분이다.

첫 번째 행을 풀어 쓰면,

Nx=A11εx0+A12εy0+A16γxy0N_x = A_{11} \varepsilon_x^0 + A_{12} \varepsilon_y^0 + A_{16} \gamma_{xy}^0

형태로 된다. 여기서 A16γxy0A_{16} \gamma_{xy}^0 성분이 있다는 것은 x 방향 막하중이 단순히 x, y 방향 정상 변형률만으로 결정되지 않고 전단 변형률도 연결된다는 뜻이다.

세 번째 행을 보면 더 직접적이다.

Nxy=A16εx0+A26εy0+A66γxy0N_{xy} = A_{16} \varepsilon_x^0 + A_{26} \varepsilon_y^0 + A_{66} \gamma_{xy}^0

만약 A16,A26A_{16}, \; A_{26} 성분이 0이 아니게 되면, 순수하게 NxN_x만 가해도 전단 응답이 나타날 수 있다. 즉, 판을 x 방향으로 잡아당겼는데 직사각형이 평행사변형처럼 기울어지는 shear deformation이 생길 수 있다.

이것이 extension-shear coupling이다.

금속판에 익숙한 설계자에게는 이런 거동이 매우 비직관적이다. 금속 등방성 판은 보통 축방향 인장과 면내 전단이 이렇게 강하게 연결되지 않는다. 그러나 angle ply를 가진 unbalanced laminate에서는 이것이 실제 구조 응답으로 나타난다.

왜 +θ\theta와 –θ\theta가 짝을 지으면 coupling이 사라지는가

UD ply를 laminate 좌표계로 변환하면 Q‾16,Q‾26\bar {Q}_{16}, \; \bar{Q}_{26} 성분이 생긴다. 이 성분들은 ply angle θ\theta의 부호에 민감하다.

간단히 말하면 +θ\theta ply가 만드는 Q‾16,Q‾26\bar{Q}_{16}, \; \bar{Q}_{26} 효과와 –θ\theta ply가 만드는 Q‾16,Q‾26\bar{Q}_{16}, \; \bar{Q}_{26} 효과는 부호가 반대가 된다.

따라서 같은 재료, 같은 두께의 +θ\theta ply와 –θ\theta ply를 함께 넣으면 이 항들이 서로 상쇄된다.

Q‾16(+θ)+Q‾16(−θ)=0\bar{Q}_{16} (+ \theta) + \bar{Q}_{16}(- \theta) = 0
Q‾26(+θ)+Q‾26(−θ)=0\bar{Q}_{26} (+ \theta) + \bar{Q}_{26}(- \theta) = 0

그 결과 laminate 전체의 extensional stiffness(A matrix)에서

A16=0,A26=0A_{16} = 0 \; , \; \; A_{26} = 0

이 된다.

그러면 막하중 관계식은 다음처럼 단순해진다.

[NxNyNxy]=[A11A120A12A22000A66][εx0εy0γxy0]\begin{bmatrix} N_x \\ N_y \\ N_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & 0 \\ A_{12} & A_{22} & 0 \\ 0 & 0 & A_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_y^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{bmatrix}

이제 정상 하중과 전단 하중이 분리된다. Nx,NyN_x, \; N_y는 εx0,εy0\varepsilon_x^0, \; \varepsilon_y^0와 연결되고, NxyN_{xy}는 γxy0\gamma_{xy}^0와 연결된다.

이것이 balanced laminate의 가장 직접적인 효과다.

Balanced가 아니면 어떤 일이 생기는가

Unbalanced laminate에서 막하중 관계식을 풀어서 보자.

[NxNyNxy]=[A11A12A16A12A22A26A16A26A66][εx0εy0γxy0]\begin{bmatrix} N_x \\ N_y \\ N_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{16} \\ A_{12} & A_{22} & A_{26} \\ A_{16} & A_{26} & A_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_y^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{bmatrix}
Nx=A11εx0+A12εy0+A16γxy0N_x = A_{11} \varepsilon_x^0 + A_{12} \varepsilon_y^0 + A_{16} \gamma_{xy}^0
Ny=A12εx0+A22εy0+A26γxy0N_y = A_{12} \varepsilon_x^0 + A_{22} \varepsilon_y^0 + A_{26} \gamma_{xy}^0
Nxy=A16εx0+A26εy0+A66γxy0N_{xy} = A_{16} \varepsilon_x^0 + A_{26} \varepsilon_y^0 + A_{66} \gamma_{xy}^0

여기서:

  • A16≠0A_{16} \neq 0 이면 A16γxy0≠0A_{16} \gamma_{xy}^0 \neq 0 이 되므로, x축방향으로 막하중(NxN_x)이 작용할 때 전단 변형을 유발한다.
  • A26≠0A_{26} \neq 0 이면 A16γxy0≠0A_{16} \gamma_{xy}^0 \neq 0 이 되므로, y축방향으로 막하중(NyN_y)이 작용할 때 전단 변형을 유발한다.
  • A16≠0A_{16} \neq 0 혹은 A26≠0A_{26} \neq 0 이면 A16εx0A_{16} \varepsilon_x^0과 A26εy0A_{26} \varepsilon_y^0이 남게 되므로, xy 전단 막하중(NxyN_{xy})이 작용할 때 x축방향 혹은 y축방향으로 인장 변형이 발생한다.

결국 balanced laminate가 아닌 경우가 되면 x축, y축방향 혹은 전단 방향으로 막하중이 작용할 때 전단 변형이 발생하여 평행사변형 형태로 변하게 된다.

Guideline 1과 Guideline 2는 모두 적층 설계에 의해 기대하지 않은 거동이 발생하는 것을 방지하기 위한 것이다.

Thermal skewing: 온도 변화에서도 balanced가 필요한 이유

Guidelines 1에서와 마찬가지로 balanced laminate가 필요한 두 번째 이유는 열변형이다.

UD ply는 자기 재료 자표계에서 보통 두 개의 주요 열팽창계수를 가진다.

α11,α22\alpha_{11} \; , \; \; \; \; \alpha_{22}

여기서 α11\alpha_{11}은 섬유 방향 열팽창계수이고, α22\alpha_{22}는 섬유에 수직한 방향의 열팽창계수다. 일반적으로 이 둘은 크게 차이를 보인다.

문제는 ply가 laminate 좌표계에서 +θ\theta 혹은 –θ\theta 로 적층될 때다. 이 경우 열팽창 변형을 laminate x-y 좌표계로 변환하면 thermal shear strain 성분이 생긴다.

즉, angle ply 하나만 보면 온도 변화에 의해 직사각형이 단순히 커지거나 작아지는 것이 아니라, 평행사변형처럼 skew 될 수 있다.

ΔT→γxythermal\Delta T → \gamma_{xy}^{thermal}

만약 +45º ply만 있고 -45º ply가 없다면 이 thermal shear effect가 laminate 전체에 남을 수 있다. 반대로 두 angle ply가 쌍을 이룬다면 서로 반대 방향으로 작용하여 전체 skewing을 줄일 수 있다.

Balanced laminate도 D16,D26D_{16}, \; D_{26} 문제를 완전히 없애지는 못한다

A matrix에서 A16,A26A_{16}, \; A_{26} 성분은 extension-shear coupling 항이다. Balanced pair를 맞추면 이 항들은 사라질 수 있다.

그런데 굽힘강성 D matrix에서

D16,D26D_{16}, \; D_{26}

은 다른 문제다. 이 항들은 bending-twisting coupling과 관련된다.

Mx=D11κx+D12κy+D16κxyM_x = D_{11} \kappa_x + D_{12} \kappa_y + D_{16} \kappa_{xy}
Mxy=D16κx+D26κy+D66κxyM_{xy} = D_{16} \kappa_x + D_{26} \kappa_y + D_{66} \kappa_{xy}

즉, D16,D26D_{16}, \; D_{26} 이 크면 굽힘모멘트를 줬을 때 twisting curvature가 생기고, 비틀림모멘트를 줬을 때 bending curvature가 생길 수 있다.

Balanced laminate는 A16,A26A_{16}, \; A_{26} 성분을 제거하는 데는 유효하지만, D16,D26D_{16}, \; D_{26} 까지 항상 정확히 0으로 만든다고 보면 안 된다. 특히 얇은 laminate나 +θ\theta, –θ\theta ply가 두께 방향으로 충분히 잘 분산되지 않은 laminate에서는 bending-twisting coupling이 의미 있는 수준으로 남을 수 있다.

따라서 좋은 실무 설계를 위해서 단순히 전체 ply count만 맞추는 것이 아니라 angle ply를 두께 방향으로 적절히 분산 시켜야 한다.

예를 들어 다음 두 적층은 ply 수만 보면 모두 balanced laminate라 할 수 있다.

[+45 / +45 / -45 / -45]s

[+45 / -45 / +45 / -45]s

그렇지만 두 laminate는 bending response 관점에서 같지 않다. 두께 방향에서 angle ply의 배치가 어떻게 되느냐에 따라 D16,D26D_{16}, \; D_{26}의 크기가 달라질 수 있다.

따라서 실무에서는 “balanced laminate 인가?”만 보면 안 된다. 다음의 사항을 고려하여야 한다.

A16,A26≈0A_{16}, \; A_{26} \approx 0 인가?

D16,D26D_{16}, \; D_{26} 은 무시할 정도로 작은가?

+45º, -45º ply가 두께 방향으로 잘 분산되어 있는가?

예외: unbalanced laminate를 일부러 쓰는 경우

대부분의 항공 구조에서는 balanced laminate가 기본값이다. 그러나 예외가 있다. Aeroelastic design of wings에서는 unbalanced lay-up이 의도적으로 쓰링ㄹ 수 있다고 설명한다. 특히 forward swept wing처럼 bending-twisting coupling이 비행 안정성에 직접 영향을 주는 경우, composite lay-up을 이용해 원하는 방향의 aeroelastic tailoring을 만들 수 있다. Northrop Grumman의 B2 폭격이를 설계할 때 aeroelastic tailoring을 위해서 D16D_{16}을 제어해 이방성을 활용하는 방법을 적용한 것으로 알려져있다.

Unbalanced laminate는 일반적인 구조 설계에서는 피해야 하지만, coupling을 설계 변수로 직접 통제할 수 있는 경우에는 유용한 도구가 될 수 있다.

다만 이 경우에는 더 이상 일반적인 laminate design guideline의 영역이 아니다. 구조해석, 공탄성 해석, 제조공차, 시험검증, certification evidence가 함께 따라와야 한다.

일반적인 설계자가 단순히 강성을 맞추기 위해 +45º를 넣는 것과, aeroelastic tailoring을 위해 의도적으로 unbalanced coupling을 사용하는 것은 전혀 다른 문제라 할 수 있다.

결국 balanced laminate는 해석을 쉽게 하기 위한 규칙이 아니라 실패 모드를 줄이는 규칙이다

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